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立方体の11通りの展開図とその双対図形

小学校3年の娘が算数でサイコロの展開図をやっていたので、11通りを描いてみました。プログラムを作らずに、Excelでちょこちょこやっています。多少、ずれているのはそのせいです。

あまり重要ではありませんが、サイコロには背中合わせの面を足すと7になるというルールがありますが、1,2,3が見える側から見たときに、時計回りに数字が大きくなるかそれとも逆か? という問題に答えられますか? 僕は、両方のサイコロを見たことがあります。今回は反時計回りで作っています。

最近、Wiiでスーパーマリオギャラクシーをやっているのですが、 120の小さなゲームの中の1つに、ウィンドガーデンギャラクシーの「サイコロ庭園のパープルコイン」というゲームがあります。(立方体の星に配置された150個のパープルコインのうちの100個を2分30秒の間に集めてスタートした面に戻ってくる ゲームです。)この場面では、分岐の無い展開図が好ましいことになります。それに対応するのは、 左端の2つと、右下の1つの3通りの展開図ですね。{前右左}を2度が位相の差で2通りあり、{前右}を3度がもう1通りになります。 2段目の左から3つめにあるのは、一筆書きはできるのですが、元の場所に戻ってくることができないので時間切れになるでしょう。

切り取り線の形

そしてページの下の方には、双対図形もマッドマグ(ジオマグの類似品)で作ってデジカメで撮影しました。左上の例外を除いて、横に4つ縦に3つ対応する場所に並んでいます。 正三角形が8個並んでいる形になっています。

迂闊でした。立方体の切り取り線は、立方体の双対図形である正8面体の展開図と同じなので、正八面体の展開図も11通りなのでした。絵にしてから2時間くらいは経過してやっと気づきました。

2007/12/20 0:30 追記

以前、牛乳パックに描いてある捨てる場合の展開図の例が、ハサミで一筆書きができないという問題に気づいて、紙パックの業界に問い合わせたら、展開図らしいデザインということで、そうなっているだけだ。という返事が返ってきたことがあ ります。その関連で言うと、立方体の場合は一筆書きできる切り取り線は3通りありました。左上の3個です。

NHKの「私が子供だった頃」という番組で、ピーターフランクル氏が、小さな頃に、リンゴの皮を連続して剥いたらSの字状の図形ができることに気づいて父親に話した場面が出てきました。8歳の娘に同じ問題を出してみたのですが、単なる渦巻きになると思ったみたいでした。立方体の展開図にもS字型が1つあります。同時に、それは、切り取り線もS字型になっていますね。

つけたし

11というと、サッカーを連想してしまいます。ちょうど、1種類だけ、横長なで、キーパーだけ違うルールで動いているのを連想させます。どの展開図が好きか?で占う占いがあっても良いでしょう。

リンク

rippoutai.xls ずれが気になる人とか、数字でなくサイコロの目に変えたい人はこれをいじってください。
立方体の展開図展開図(クリックで拡大)
立方体の切り取り線切り取り線(クリックで拡大) 赤色の7本の棒が切り取り線で、銀色は角度を保っているだけです。本来なら、斜方立方八面体(18の正方形と8個の正三角形でできた多面体)上で切り取り線を描けば綺麗だと思うのですが。(しばらくして、無意味なことをしてしまったことに気づいたのでやり直しました。切り取り線としては直接的ではなくなりますが、図形としては単純になります。)
正8面体の展開図切り取り線 改訂版(クリックで拡大) つまり、正八面体の展開図でした。
紙パックリサイクルのための展開図 - matsuokahajimeの日記 この時には気づきませんでしたが、糊代の部分を切ってしまうと力が余分に必要になるのでそれを最小にするとか、いろいろ考えると、牛乳パックのリサイクル用展開図は1通りに限定されそうに思います。

外部リンク

展開図 - Wikipedia とりあえず、wikipediaでは正8面体の展開図も11通りになるということを指摘してなかったので、極端に迂闊とまでは言わなくて済むようです.あと、20面体や12面体の展開図が何通りあるか検索してもすぐには見つかりませんでした
卒論 このページによれば、10000種類以上と書いてありました
2008/2/29 1:30-2:00放送のフジテレビ『たけしのコマネチ大学数学科』を録画で見ていたら、正12面体と正20面体の展開図の数が43380通りというのが出てきました。アルゴリズムだけは考えてそのうちプログラムしようかなと思ったまま放置していたのですが、その必要はなくなりました。2008/3/15追記
正多面体の展開図 131ページのpdfファイル 2008/3/15追記
pick 2004年以前からあったサイトのようです。 2008/3/15追記
「工場萌え」で有名な大山顕氏が「デイリーポータルZ」で謝罪、「手のりポッド」と「テトぐるみ」は盗作 - GIGAZINE "展開図"でのアクセスが急に増えていたので、この事件のせいかなと思いました。ちょっと時期がずれているので、他の事件かも。 2009/11/13追記

作成 2007/12/19 - 更新 2009/11/13

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