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路線図と、平行四辺形の詰め込み問題

かなり昔にこの同じ問題を考えていたと思うのですが、その時に具体的には何の問題を抽象化した結果としてその問題を考えていたのか思い出せません。ということで、次回同じことを考え始めたときのために、今回のきっかけをメモしておきます。

モスクワの都市軸はどういう傾きなのだろうと思ってモスクワの地図を探していたら、モスクワの地下鉄の路線図が出てきて、中心は、東京の地下鉄の様にぐちゃぐちゃもつれ合っている様な路線図で、それを１重の環状線が囲み、環状線の内側の路線から郊外へ延びる放射状の線路が続いているというものでした。地下鉄の路線図の構成要素として考えられるのは、あとは、格子状の地下鉄くらいでしょうから、３つの要素が綺麗に組み合わさっていることにちょっと感動しました。

環状の路線 　ｖｓ　放射状の路線

道路にしろ鉄道にしろ、最初は、放射状に発達し、次に周辺の都市を結ぶ環状の路線ができるというパターンがありますが、たとえば、中心から伸びる放射状の線路が何本になれば、環状の路線ができるのが普通なのか？　という疑問があります。それを考えるための平均的な人口分布や、移動人口の分布のモデルはあるかなあとか思って、そのまま止まっています。郊外から郊外への移動の際に、環状の路線があれば、乗車距離は短くなるわけですが、道路なら問題なくても、電車の場合には、２度の乗り換えが必要になって、時間当たりの電車の本数によっては、待ち時間を含めた所要時間はあまり短縮されない可能性があります。

放射状の路線の問題

バス路線の場合は、地下鉄の場合と違って、かなりの路線数になっても、放射状の路線図を維持します。バスの場合、住宅地から鉄道の駅までを結ぶのが主な移動の目的ということもあるでしょう。しかし、市内での移動を目的とする人の場合は、用事が無くても乗り換えのために、いったん中心部のバスターミナルまで出てこなければならないということになります。例えば、タクシーや自転車で移動した場合と比べると、無駄な動きをしている様に感じてしまいます。これに対して、バス路線が格子状に走っていたとすればどうだろうかなどと思うわけですが、中心部を経由しない路線に乗る人の数はきわめて少ないでしょうから、実際的ではありません。

しかし、例えば、通勤時間帯なら、主要駅を中心とした放射状のバス路線が最適でも、時間帯によっては、商店街などの別の場所を中心とした放射状の路線なり、文化施設などを結ぶ環状の路線が最適になる可能性もあると思います。放射状のバス路線以外の可能性が常にあると思います。

放射状から網状の発展

あるいは、放射状の路線の発展系として、南からの路線がバスターミナルで終点になるのではなく、バスターミナルを経由して北に伸びる様な路線は容易に考えられます。それであれば、特定の経路に限った場合ですが、乗り換えなしで、目的地に到着することができます。

また、バスターミナルを途中駅にした場合には、乗り換えが集中するよりも、分散した方が良いので、乗り換える路線によって、乗換駅を変えるということになってきます。

こう考えると、モスクワの地下鉄路線図は、放射状の路線と、環状線が組み合わさったものの中心部が網状に変化したものとして理解できます。

図１のように、N本の路線にそれぞれN-1の乗換駅があるという様な路線図をイメージしています。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

図１を、阿弥陀くじに書き直すと図２になります。

すごく、昔のことでした。１９９１年３月の、科学朝日のパズルの正解者欄とか書いてある様に昔、ピーター・フランクル氏が、出していた問題にプログラムで解いて応募したのでした。もともとの問題は、正2N角形を、N*(N-1)/2の平行四辺形に分割する問題で、１２角形の場合をプログラムで解いたのでした。しかし、特に考えずに、実際に平行四辺形を詰め込んでみる様な解き方でした。

図３の様に、１つの平行四辺形が、１つの乗換駅に対応しています。同じ傾きの線分のグループが路線に対応することになります。メモによれば、平行四辺形の問題が、こういう風に置き換えられることに気づいたのは２０００年４月頃ですが、でも、それを思いついたのは別の関連した問題があったからかも知れません。

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作成 2003/6/18 - 更新 2007/04/12

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